最大子序和-动态规划 解析最优解

前言

大家好,我是来自「华为」「小熊」。端午假期马上就要结束了,小熊给大家带来一道笔试和面试中与相关的常考的简单题,这道题被字节、微软、亚马逊和苹果等各大互联网大厂作为笔试题。

这道题就是 Leetcode 的第 53 题-,了解的童鞋,在看到最大两个字的时候,很容易就会想到用「动态规划」去解答,因为涉及到的问题,一般都可以通过动归去做。本题小熊提供「动态规划」的思路供大家参考,希望对大家有所帮助。

题目

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有的连续子数组(子数组最少包含一个元素),

返回其最大和。

示例 1:

输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出:6
解释:连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6 。

示例 2:

输入:nums = [1]
输出:1

提示:

1 <= nums.length <= 3 * 10^4
-10^5 <= nums[i] <= 10^5

解题思路

本题是一道典型的「动态规划」的题,因此采用动态规划的策略去解答。

「定义状态」

dp[i]:以nums[i]结尾(包含nums[i])的连续子数组的最大和。

「状态转移方程」

dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]),其中i>=1,当dp[i-1]<0 时,抛弃当前的和最大的连续子数组,从nums[i]开始重新寻找和最大的连续子数组,否则将nums[i]加入到当前的和最大的连续子数组。

「边界条件」

dp[0] = nums[0]。

「举栗」

以数组nums[i]=[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]为例子,如下图示。

最大子序和-动态规划 解析最优解
示例

从上图可以看出:dp[0] = nums[0] = -1 < 0,由于当前的连续子数组的最大和小于零,因此应该丢弃 num[0],从 nums[1] = 1 开始重新寻找和最大的连续子数组。

寻找和最大的连续子数组的完整动图,如下所示:

最大子序和-动态规划 解析最优解
完整动图

由状态转移方程可知,dp[i]只与dp[i-1]和nums[i]相关,因此没必要再去定义dp,直接复用nums即可。

Show me the Code

「C++」

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    int maxSum = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
        nums[i] = max(nums[i - 1], 0) + nums[i];
        maxSum = max(maxSum, nums[i]);
    }

    return maxSum;
}

「Java」

int maxSubArray(int[] nums) {
    int maxSum = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
        nums[i] = Math.max(nums[i - 1], 0) + nums[i];
        maxSum = Math.max(maxSum, nums[i]);
    }

    return maxSum;
}

「Python3」

def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
    for i in range(1, len(nums)):
        nums[i] = max(nums[i - 1], 0) + nums[i]
    
    return max(nums)

「Golang」

func maxSubArray(nums []int) int {
    maxSum := nums[0];
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        if nums[i - 1] > 0 {
            nums[i] += nums[i - 1]
        }

        if nums[i] > maxSum {
            maxSum = nums[i]
        }
    }

    return maxSum;
}

「C」

int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
    int maxSum = nums[0];
    for (int i = 1; i < numsSize; ++i) {
        nums[i] = fmax(nums[i - 1] + nums[i], nums[i]);
        maxSum = fmax(maxSum, nums[i]);
    }

    return maxSum;
}

「复杂度分析」

时间复杂度:「O(n)」,其中参数 n 是数组中元素的个数,需要遍历一遍数组。

空间复杂度:「O(1)」,未开辟额外的存储空间。